[역설] 제논의역설

제논의 역설은 무엇인가?

 

제논의 역설이란 고대 그리스의 학자 제논이 만들엇으며, 이를통해 "만물은 흐른다"라는 이을 반박하고 싶었다고 한다. 움직이는 물체를 보여주며 만물이 움직인다고 하는 사람을 보고 "눈의 착각이다"라고 했다는 이야기가 있다. 

 

제논의 역설을 보면 아킬레우스와 거북이, 화살등을 통해 소개 하곤 하는데 결국 운동에 관한 역설이 되겠다.

가장 대표적인 아킬레우스와 거북이의 예시를 이야기 해 보자

 

아킬레우스가 100m 가는동안 거북이는 10m를 갈 수 있다고 가정하자. 

거북이는 또한 아킬레우스보다 100m 앞에서 출발 한다.

아킬레우스가 거북이를 따라잡기 위해 100m 움직이면 그 동안 거북이는 10m 앞으로 나아간다.

거북이가 나아간 10m를 따라잡기 위해 아킬레우스가 움직이는 동안, 거북이는 1m 앞으로 나아간다.

거북이가 나아간 1m를 잡기 위해 아킬레우스가 움직이는 동안, 거북이는 0.1m 앞으로 나아간다.

이와 같은 과정을 무한히 반복 할 수 있다. 따라서 아킬레우스는 영원히 거북이를 추월 할 수 없다.

 

제논의 역설의 빈틈은 무엇인가?

 

아킬레우스와 거북이의 예시를 보자.

 

아킬레우스가 거북이를 따라잡기 위해 100m 움직이면 그 동안 거북이는 10m 앞으로 나아간다.

이때 걸린 시간을 10초라 가정하자.

 

그렇다면 거북이가 나아간 10m를 따라잡기 위해 아킬레우스가 움직이는 동안, 거북이는 1m 앞으로 나아간다.

이때 걸린 시간은 1초가 된다.

 

거북이가 나아간 1m를 잡기 위해 아킬레우스가 움직이는 동안, 거북이는 0.1m 앞으로 나아간다.

이때 걸린 시간은 0.1초가 된다.

 

이와 같은 과정을 무한히 반복하는 것은 시간으로 따지면...

10+1+0.1+0.01+0.001...

이 되므로 11.1111111초가 되므로 아킬레우스가 거북이를 잡는데 걸리는 시간은 (100/9)초가 된다.

 

문제는 아킬레우스가 거북을 따라잡기 위해서 무한의 과정을 거쳐야 한다는 데에 있다. 무한히 많은 과정을 유한의 시간 내에 끝낼 수 있을까? 이를 자세히 표현하면 무한히 많은 숫자의 양을 더했을 때 그 결과가 유한한 양이 될 수 있는가의 문제인 것이다. 당시에는 무한, 극한등에 대한 개념이 잘 정립되지 않은 시기였기 때문에 무한히 많은 숫자의 양을 더했을 때 과연 그 결과는 무한이 된다고 믿었다. 하지만 무한급수를 살펴보면 무한히 많은 항을 더해서 유한의 결과가 나오는 것이 가능하다.

 

하지만 인터넷에서는 여전히 논쟁이 있다.

수학적으로 반박이 가능하게 된 제논의 역설이지만 모든 사람들이 수학을 잘하는 것은 아니다. 중고등학교에서 충분히 배우는 수학이라고 생각 할 지 모르지만, 수학을 포기하는 학생들도 많기 때문이다. 또한 수포자가 양산되는 문제를 막기 위해서는 너무 엄밀한 증명과정과 머리아픈 공식들을 지나치게 사용 할 수도 없다. 따라서 어느정도의 논리적 빈틈을 남기면서라도 직관적인 이해를 시키도록 수학을 배우다 보면 어쩔수 없는 일일 것이다.

 

따라서 인터넷에는 아직도 비슷한 논리를 펼치며 비슷하 이야기를 하는 사람들이 있다.

0.999999...=1이 아니라고 주장하는 사람들이 대표적인 예시가 된다.