[역설] 러셀의 역설 또는 이발사의 역설 (Russell's paradox or the barber paradox)

러셀의 역설이란 무엇인가?

이름에 있는것과 같이 영국의 수학자중 한 명이 제시한 역설이다. 집합론에 대한 허점을 찌른 역설으로, 이를 해결하기 위해 도입된 수학적 개념은 수학을 발전시키는데 공헌하였다. 

 

역설의 내용을 살펴보자

자기 자신을 포함하지 않는 집합들만을 모두 원소로 하는 집합 A를 생각하자. 소박한 집합론에 의하면 집합 A는 바르게 정의되었다. 이때, A는 자기 자신을 포함하는가?

 

음... 어렵게 느껴지는가?

일상에서는 흔히 이발사의 역설이라 부르는데는 이유가 있다.

예시를 통해 확인하자. 

 

일단 섬에는 두 종류의 사람이 있다.

스스로 수염을 깎는사람과 스스로 깎지 않고 이발사에게 대신 수염을 밀도록 하는 사람.

이때. 섬에 유일한 이발사가 말하길, "스스로 수염을 깎지 않는 모든사람"의 수염은 내가 깎아 주겟다. 단, 스스로 수염을 깎는 사람의 수염은 절대 깎아주지 않겠다."

이때, 이발사 자신의 수염은 누가 깎는가? 라는 문제이다.

 

이것이 역설인 이유는 무엇인가?

이때 A 안에 A 자신이 들어있다면, A는 A 집합의 정의에 의해 자신을 포함할 수 없다. 즉, 모순이 나온다.

반면 A 안에 A 자신이 없다면, A는 A 집합의 정의에 의해 자신을 원소로 포함해야 한다. 이것 역시 모순이 나온다.

 

이발사의 예시를 통해 보면

이발사가 자신 스스로 면도를 하는경우 "스스로 수염을 깎는 사람의 수염은 절대 깎아주지 않겠다."라는 말에 어긋난다.

이발사가 자신 스스로 면도를 하지 않는경우  "스스로 수염을 깎지 않는 모든사람"의 수염은 내가 깎아 주겟다."에 어긋난다. (섬의 유일한 이발사인 자신도 '모든'에 포함됨.)

 

이 문제가 발생한 배경은?

프레게는 힐베르트의 라이벌이자 동반자였다. 힐베르트와 마찬가지로 "완전한 수학체계"를 만들기 위해 공리계를 처음부터 다듬기 시작했다. 사칙연산으로 이뤄진 공리계(자연수를 의미한다.)를 더욱 엄밀하게 만들기 위해 기수를 '집합의 원소의 개수'로 정의하고 공리계를 집합론을 통해 정리했다. 그러나 문제는 러셀의 제시한 집합은 기수를 구할 수 없다.

러셀이 제시한 역설에 의해 집합론의 근간이 흔들렷고, 이로인해 수학계에서는 말 그대로 대 혼돈이 찾아왔다. 수학의 근간 을 흔들어버린 러셀의 역설을 해결하기 위해서 많은 수학자들이 노력했고, 러셀 자신도 이 논리의 허점을 연구하기 시작했다.

 

그래서 해결은 되었나?

러셀 스스로가 이 문제를 해결하였다.

러셀은 기존에 집합을 정의하던 방식이 부적합하다고 하였다. 당시 수학자들은 집합이란것을 "원소를 모아놓은것" 정도로만 생각하였기 때문이다. 그렇기 때문에 자기 자신을 포함하는 집합이라는 것에 거부감을 못 느낀 것이다.

 

러셀은 계형이론을 통해 집합들간에 위계관계를 정하였다. 

일반적으로 들어가는 0, 1, 2, 3과 같은 것들을 "0계"라고 하였다.

0계들을 포함하는 집합 {0}, {1, 2}와 같은 집합들은 "1계"라 하고

1계들을 포함하는 { {0}, {1, 2} }와 같은 집합은 "2계"라 하였다.

 

이 위계에 따르면 자기 자신을 포함하는 집합(n계)은 n계 이면서 n계를 포함한 n+1계인 집합이 되므로 있을 수 없다는 것이다. 

이와같이 집합의 정의를 엄밀하도록 변화를 주어 기존의 수학 체계 사이에 잘 녹아 들수 있도록 하였고, 러셀의 역설을 반박 할 수 있게 되었다.  

 

수학에 미친 영향과 파급력은?

오류가 없이 완벽하게 전개되는것과 같았던 집합론에 허점을 제시하며 기존 집합론에서 사용하던 단어들을 엄밀히 새로 정의하는 재정비의 시간을 가져야 한다는 파급이 일었다. 후에 이의 영향을 받아 ZFC 공리계라는 공리계가 탄생 하였고, 더 나중에는 불완전성 원리가 완성되는데 일조하였다.